Topologies

Publicat el 8 desembre 2011 per

3


Un acudit habitual entre els matemàtics que es dediquen a la topologia és que “un topòleg és una persona incapaç de distingir una tassa de un bunyol”.

Per transformar un quadrat en una banda de Moebius, cal unir les arestes etiquetades amb A de manera que les direccions en què les fletxes apunten sigui la mateixa.

En Topologia, dos objectes són equivalents en un sentit molt ampli. Per eixample poden tindre el mateix nombre de trossos, de buits, interseccions, etc., hi està permès doblegar, estirar, encongir, retorçar, etc. els objectes però, això si, sempre que es faci sense trencar ni separar el que estava unit, ni pegar el que estava separat. En aquest sentit un triangle és topològicament el mateix que una circumferència, ja que podem transformar un en l’altra de forma contínua, sense trencar ni enganxar res.

Aquesta és la raó per la que es coneix la topologia com a “Geometria de goma”, ja que és com si estiguéssim estudiant Geometria sobre un paper de goma que es pogués contreure, estirar, etc., és a dir, mitjançant transformacions que, després de tot, conservaran les mesures d’angle, longitud, àrea, volum i altres.

El principal origen de la Topologia està basat en el problema dels set Ponts de Königsberg, plantetjat pel matemàtic i físic Leonhard Euler en 1736, que diu així:

Donat el mapa de Königsberg, amb el riu Pregolya dividint el pla en quatre regions diferents, que estan unides a través de set ponts, es pregunta si és possible fer una passejada començant des de qualsevol d’aquestes quatre regions, passant per tots els ponts, recorrent només una vegada cada un, i tornant al mateix punt de partida?

Euler va substituir cada un dels trossos de terra ferma per un punt i cada pont per un traç. Així, l’illa està representada pel punt al qual arriben cinc traços, ja que són cinc els ponts que van a ella. La figura resultant és un graf o conjunt de punts i de les línies que els uneixen.

En el context del problema, els punts intermedis d’un possible recorregut han d’estar connectats a un nombre parell de línies. Es a dir que, si arribem a un punt des d’alguna línia, llavors l’única manera de sortir d’aquest punt és per una línia diferent.

El problema es redueix a dibuixar la figura, partint d’un punt, d’un sol traç, és a dir, sens eaixecar el llapis del paper i sense recórrer una mateixa línia dues vegades. A un recorregut d’aquestes característiques se’n diu camí euleriá.

Llavors la Topologia estudia les relacions lògiques dels objectes geomètrics en funció de la relació entre un centre i els seus límits, tenint en compte també les seves relacions amb els altres objectes. Aquesta Teoria de Grafos, és la primera que fa al.lussió a una geometria en que només interessen les propietats estructurals, inherents als objectes, i ja no sols les seves mesures.

Aquestes relacions expressades a través de mitjans audiovisuals, ejecuten una mena de deconstrucció artística que revela les estructures i formes ocultes de les obres d’art. Mitjançant l’ús de algorítmiques i la transformació de l’obra en polígons acolorits, es reinterpreta l’obra i es pot interactuar amb les imatges obtesses novament, a partir de la seva continua transformació tridimensional.

QUAYOLA es un equip d’artistes visuals que treballa a Londres. Exploren meticulosament els patrons i geometries que es troben inherents a la música, l’arquitectura, la pintura iels objectes. Així venen creant des de fa uns anys els projectes STRATA. Utilitzant programari informàtic personalitzat, aconsegueixen crear impressionants efectes visuals que revelen les estructures ocultes d’0bres d’art, investigant a partir de esglésies romàniques, de catedrals gòtiques franceses o de la pintura flamenca o espanyola.

Immaculada Concepció (1769) de Giovanni Battista Tiepolo, Museo del Prado. Madrid.

Aquestes relacions expressades a través de mitjans audiovisuals, ejecuten quelcom de deconstrucció artística que revela les estructures i formes ocultes d’aquestes obres d’art. Utilitzant tècniques algorítmiques i la transformació de les obres en polígons de color mutant, es construeixen teles brillants en format digital on es pot reinterpretar l’obra i interactuar amb les imatges obtesses novament, a partir de la continua transformació de s’estructura tridimensional.

Strata #4 – Excerpt 2 from Quayola on Vimeo.

La Topologia està inserida, a més de en el disseny digital i l’Arquitectura, en molts altres camps com la Pintura, l’Animació per ordinador o en les instal.lacions “lúdiques”, entre altres. Snibbe, per eixample, es una instal.lació “lúdica” de Scott Sona. En un principi, només estava disponible per a galeries i museus -com podem veure a la imatge de baix-, passant després a disenyar-se com una aplicació per a les plataformes iPhone i iPad, de Apple.

Immediatament a Snibbe, Scott Sona va crear l’aplicació per a iPad Bubble Harp, una combinació de dibuix, animació, música generativa, art, geometria i joc. Bubble Harp permet dibuixar bombolles de diversos tamanys sobre una pantalla tàctil i, amb sols el moviment dels dits, es pot anar multiplicant el nombre de polígons  indeterminat, animadament amb un fons musical dodecafònic que també pot ser alterat.

Els estudiants de Matemàtiques de la Universitat de Almeria han tingut la sort de poder-hi participar recentment en un Taller de Construcció i Exhibició d’objectes Topològics impartit per Jose Luis Rodríguez -Mago Moebius-, Professor de Matemàtiques en aqueixa Universitat. En aquest Taller han aprés a dissenyar i construir -tridimensionalment- distints objectes topològics que normalment sols es podien veure en pantalles d’ordinador -bidimensionalment-.

A  la pàgina web de Mago Moebius: Juegos Topològicos, hi ha informació detallada al respecte.., a més  d’un munt de “secrets” interessants sobre Topologia. A sota tenim enllaços directes als experiments del Taller:

Molt probablement Euler no va arribar a imaginar l’abast que tindria aquell descobriment de la Teoria de Grafos, però la “cosa” no acaba ací, ni molt menys. A conseqüència de les investigacions posteriors basades en les teories de Euler, en Gràfics 3D per ordinador s’usen xarxes de polígons per modelar objectes tridimensionals, ajuntant els polígons per imitar la superfície de l’objecte. En general s’usen triangles perquè són els polígons més simples.

Hi ha dues maneres de modelar un objecte de superfícies: modelat de mà o escanejar amb un range escàner. Al escanejar es produeix un relleu de la superfície format per punts discrets. Per usar aquest relleu cal transformar-lo en una xarxa de triangles; aquesta transformació es coneix com “triangulació”. Si connectem els centres de les circumferències circumscrites en els triangles, podem generar diagrames de Voronoi i usar-los en la creació  volumètrica.

Coberta interior. 3D de Florian Gassmann
Posted in: Ciència i Tecnologia