Els horitzons de l’univers (i IX): l’estructura matemàtica del cosmos

Posar fi a aquesta sèrie és un exercici futil. Fins ara hem vist com cada etapa era superada per una de posterior. Darrera de cada horitzó, s’alçava un món nou, delimitat aparentment per un horitzó més ampli. El nostre “capítol IX” es correspon al “multivers de nivell IV” en la sistematització de Max Tegmark. El “nivell IV” de Tegmark rep el nom de “ensamblatge últim”, i es fonamenta en una hipòtesi no-trivial, la hipòtesi de l’univers matemàtic. L’ensamblatge últim sera conformat per tots els multiversos de nivell III (i II, i I), que poden ésser descrits per una estructura matemàtica.

Totes les estructures que existeixen matemàticament també existeixen físicament

El multivers de nivell I es construeix a partir de les teories de la inflació i de l’expansió còsmiques (Big Bang), d’acord amb la qual no tot allò que era en el Big Bang de fa uns 13.000 milions d’anys es troba actualment en el radi de l’univers potencialment observable. El multivers de nivell II, sempre segons la classificació de Tegmark, resulta de la teoria de la inflació caòtica d’Andrei Linde, segons la qual el nombre de Big Bangs és múltiple. A partir de la voluntat de resoldre la paradoxa EPR que deriva del caràcter quàntic de la fàbrica íntima del nostre univers, es construeix la idea de “múltiples mons” o de les “històries múltiples”, que són la base del multivers de nivell III. Si els nivells I i II deriven de les observacions cosmològiques, el nivell III deriva d’una interpretació de la física quàntica. És per integrar tots aquests nivells, que Tegmark teoria el “quart i últim nivell”.

Al llarg de tots aquests capítols, des del mariner coetani a Hesíode fins a l’astrofísic dels nostres dies, hem assumit l’existència d’un món físic exterior ‘real’. Els nostres models volien reflectir l’estructura d’aquest món físic, en forma de cosmografies, de lleis de la natura, de constants físiques, de teories i d’hipòtesis. La filosofia occidental ha debatut amplament les relacions entre el noümen (la cosa en ella mateixa) i el fenòmen (allò que percebem de la cosa), i una infinitud de propostes entre materialistes i idealistes, entre realistes i irrealistes, s’han succeït.

Tegmark construeix la seva hipòtesi a partir de l’assumpció de la realitat d’aquest món exterior. I així com el ‘món exterior’ pot ésser descrit mitjançant una ‘estructura matemàtica’, també el ‘món interior’ (la ment) pot ésser descrita com una subestructura autoconscient. En aquells universos (o regions) on l’estructura matemàtica sigui prou complexa, podran evolucionar (emergir) unes subestructures conscients, que puguin crear-se models de l’univers extern (de l’entorn), i autoconscients, que puguin crear-se models sobre el funcionament de la pròpia ment.

Amb Gödel hem topat

La hipòtesi de l’univers matemàtic, contempla la matemàtica com una realitat externa. Fet i fet, per a Tegmark, la pròpia assumpció d’una realitat externa, ens condueix a aquesta conclusió. Cal distingir, és clar, entre aquesta ‘matemàtica externa’ i els usos de les matemàtiques per part de les ‘subestructures autoconscients’. La història de la matemàtica ens ensenya quines són les forces motrius materials que condueixen al desenvolupament de les matemàtiques (necessitats d’agrimensura, de coneixement astronòmic per predir inundacions periòdiques, matemàtica associada al desenvolupament de l’enginyeria, etc.). La cursa de la física fonamental i de la matemàtica per caminar vers a una major abstracció (i, per tant, a una aplicació més extensa a una multitud més gran de casos particulars) acompanya precisament a la descoberta de nous horitzons, i a substituir les nocions antigues de món i d’univers per unes de més extenses i profundes.

Fou en el marc d’aquesta cursa, que Max Planck posà enlaire la física clàssica i introduí la moderna física quàntica. També el programa de David Hilbert posa com a fita la descoberta d’un conjunt finit i complet d’axiomes matemàtics que es demostrin com a consistents.

El programa de David Hilbert, naturalment, té una sèrie de limitacions subjectives, com les té el programa anàleg de Pierre Simon de Laplace quant al determinisme físic. Cal molta feina i molta feina és pendent encara, per resoldre problemes físics i matemàtics fonamentals. Cada solució comporta nous problemes, i de manera incremental, la física i la matemàtica (i la ciència, en general) va avançant de mica en mica en un progrés continu. Augmentar la capacitat tecnològica, especialment la potència de càlcul, a través dels avenços de la informàtica, ha ajudat a superar esculls i a fer possible avui coses que fa unes dècades semblaven inabastables.

Però, en 1931, els dos teoremes de la incompletitud de Kurt Gödel no feien pas referència a la limitació de les capacitats intel·lectives dels matemàtics de carn i pell. Els dos teoremes diuen això:
1. – qualsevol teoria generada efectivament que sigui capaç d’expressar aritmètica elemental no pot ésser alhora consistent i completa. O, dit d’una altra manera, qualsevol teoria formal generada efectivament i que sigui consistent, provarà una sèrie de veritats aritmètiques bàsiques, però necessitarà, com a crossa, un axioma que s’assumeixi com a veritat. Aquest axioma és una afirmació aritmètica que ha de ser certa per tal que la teoria formal funcioni, però que no podrem demostrar a través de la pròpia teoria formal. Tindrem una teoria formal, sí, consistent, també, però no completa.
2.- qualsevol teoria formal generada efectivament, que inclogui certes veritats aritmètiques i també certes veritats sobre la demostrabilitat formal, contindrà únicament una afirmació de la pròpia consistència si i tan sols si la pròpia teoria és inconsistent.

Han passat més de 80 anys d’ençà de la demostració d’aquestes teoremes de Gödel, i ha estat matèria de debat el seu impacte sobre la viabilitat del programa de Hilbert. El propi abast de la incompletitud pronosticada pels teoremes de Gödel ha estat qüestionat. Així doncs, mentre alguns autors consideren que la idea d’una ‘matemàtica real externa’ no és possible si aquesta matemàtica real ha de consistir en sistemes formals. Per Tegmark, els teoremes de Gödel restringeixen precisament aquesta ‘matemàtica real externa’, en el sentit que tan sols les ‘estructures matemàtiques completes’ que superin els teoremes de Gödel poden tindre una existència física. Així, doncs, la hipòtesi de l’univers matemàtic es transforma en la hipòtesi de l’univers computable. El multivers de nivell IV contindria llavors tan sols les estructures matemàtiques que siguin prou simples com per no haver de contindre cap teorema indecidible o incomputable.