Les unitats de mesura del Sistema Internacional (I – c): una història del metre (i d’altres unitats de longitud)

En una societat com la nostra, el ‘metre’ és la unitat de longitud dominant, per ell mateix, o amb els seus (sub)múltiples. Les distàncies subatòmiques es mesuren en femtòmetres (10-15 m), les atòmiques en picòmetres (10-12 m), les subestructures cel·lulars en nanòmetres (10-9 m), els microorganismes en micròmetres (10-6), i els objectes de la quotidianeïtat perceptiva en mil·límetres (10-3 m), centímetres (10-2) o decímetres (10-1). En parlar d’itineraris, hom fa del quilòmetre (103 m). Similarment, el metre (i els seus múltiples) apareix al quadrat per parlar-los d’àrees i de superfície (amb el permís de l’hectàrea que són 10.000 m2), o al cub per parlar-nos de volums o de cossos (amb el permís del litre que són 10-3 m3). O se’ls combina amb unitats de temps, per obtenir unitats de velocitat (km/h) o d’acceleració (m•s-2), o amb altres unitats per fornir les unitats de força (un Newton són 1 kg•m•s-2), d’energia (un Joule són 1 kg•m2•s-2), de pressió (un Pascal són 1 kg•m•s-2) o de potència (un Watt són 1 kg•m2•s-3). És ben cert que hi ha unitats alternatives a totes aquestes emprades en diferents territoris (com la milla als Estats Units) o en diferents sectors (les kilocalories en la dietètica; els peus en altimetria d’aeronaus), però fins i tot aquestes altres “mesures habituals” ja han estat convertides en múltiples d’unitats del SI, amb més o menys èxit (una milla són 1.609.344 mil·límetres exactes). Com que la definició actual del metre es basa en la definició del segon, resulta que un any-llum són exactament 9.460.730.472.580.800 metres. En canvi, el sistema de distància que es basa en la “unitat astronòmica” i en el “parsec”, no té una equivalència definida amb el metre. Al capdavall, la “unitat astronòmica” es defineix com la “el radi d’una òrbita newtoniana circular sense perturbacions al voltant del Sol d’una partícula de massa infinitesimal que es mogués amb una freqüència angular de 0.01720209895 radians per dia”. I si bé un dia, en aquest sentit, són exactament 86400 s, la constant gravitatòria i la massa solar depenen encara de mesures empíriques. De totes formes, les unitats astronòmiques, els parsecs i els megaparsecs, tard o d’hora, acabaran reduïts a múltiples de metre, tan bon punt hom redefineixi el quilogram. El que es tracta en aquest subcapítol, és d’anar més enllà del metre.

El metre, com a unitat antropocèntrica

Cal no oblidar el caràcter arbitrari i històric del metre. En l’origen del metre tenim la voluntat de substituir tota una sèrie de mesures antropomètriques, de definció molt variable, la passa, la braçada, el colze, la cana, etc. Hom volia una definició física, i la llei del pèndol en fou la base. Més tard, els viaranys de la definició del metre anaren per altres camins, de mesura de longituds de meridià, o de longituds d’ona d’espectrometria de flama o de làsers. Però les diferents metodologies, i la definició actual, volen filar prim a partir de la unitat ja proposada, indirectament, per Christian Huygens al voltant del pèndol de 2 segons de període. Dos segons no són més que una fracció (1/43200) d’un dia solar mitjà, període definit per la rotació del nostre planeta en l’època que ens ha tocat viure. Amb el temps, la rotació del nostre planeta s’enlenteix. D’aquesta forma, la definició darrera de metre és completament provinciana, no tan sols en l’espai sinó també en el temps.

Ara bé, pot haver-hi una unitat de longitud (o de distància) que no sigui arbitrària? La física clàssica ens diria que no. Fet i fet, la física clàssica es fonamenta en la continuïtat de l’espai-temps i de l’energia-matèria. Qualsevol unitat de longitud pot i ha d’ésser subdividida. Al mateix temps, l’espai-temps, infinit i il·limitat, no pot ser abastat per cap unitat de longitud. Des de fa 200 anys, però, aquests axiomes resulten qüestionats. La química moderna de Lavoisier o de Dalton resuscità la teoria atòmica de Demòcrit o Leucip. La velocitat finita de la llum limita l’univers observable. Vet ací dos límits palpables. Més enllà del femtòmetre (10-15 m) no té gaire sentit expandir la sèrie de submúltiples del metre, per bé que el Sistema Internacional defineix l’attòmetre (10-18 m), el zeptòmetre (10-21 m) i el ioctòmetre (10-24 m). El diàmetre de l’univers observable s’estima en 28 gigaparsecs, és a dir 8,64•1026 m. El múltiple del metre més elevat que defineix el Sistema Internacional és el yoctàmetre (1024 m). De manera, que hem dir que el diàmetre de l’univers és de 864 Ym. Per mesurar l’univers de la inflació de Guth i de Linde, ens faltarien un grapadet encara de prefixos. El metre, doncs, és una unitat descentrada, més orientada a la mesura de la petita escala de l’univers que no pas a la gran escala, cosa lògica atenent a la nostra relativa petitesa. El metre és la unitat que permet mesurar-nos, i dir que fem, per exemple, 1,74.

La unitat de longitud de Stoney

En repassar la història de les unitats de longitud hem vist que és també la història d’una percaça de l’objectivitat. Les primeres unitats eren completament subjectives, basades en el propi cos. Més tard, aparegueren les escales. Als pams i peus, personals i intransferibles, els complementaren les canes i altres objectes de mesura. Els avenços de la física i de la mecànica, permetien la definició d’unitats i la construcció de prototips més precisos.

En certa manera, es tracta de passar d’unes unitats antropocèntriques (reflex del microcosmos) a unes unitats cosmocèntriques (reflex del macrocosmos). En el 1874, George Johnstone Stoney exposava la qüestió d’una manera més pràctica. Tant si hom empra metres, segons i quilograms, com si fa mà de iardes, segons i lliures, les constants físiques fonamentals tenen nombres certament cantelluts. Què passa, però, si fem que les constants físiques fonamentals siguin iguals a la unitat? Les constants físiques fonamentals ens parlen de les relacions entre l’espai i el temps, entre la matèria i l’energia, etc. En la formulació del 1881, Stoney empra quatre constants universals:
– la càrrega elemental (e).
– la velocitat de la llum en el buit (c).
– la constant gravitacional de Newton (G).
– la constant de Coulomb (kC).

La unitat natural de longitud (ls), segons Stoney, és la que fa que aquestes quatre constants universals siguin equivalents a la unitat. Concretament:
(ls)2 = G • e2 • kC • c-4.

Si expressem la ls en metre, ens dóna 1,38068…•10– 36 m. No és una unitat còmoda, és clar. Un àtom d’hidrogen té un diàmetre covalent de 3,6•1024 ls (3,6 Yl2). La nostra alçada és de 1,2•1036 ls i l’univers observable fa un diàmetre de 6,3•1062 ls.

La unitat de longitud de Planck

Segurament Max Planck quan va presentar el seu sistema d’unitats naturals, el 1899, desconeixia el treball de Stoney. Planck aportava un sistema encara més natural. Hem vist com Stoney emprava la càrrega elemental en la definició de la seva unitat. Aquesta càrrega elemental, com se sabria més tard, és la càrrega de l’electró i del protó. Planck no considerava la càrrega elemental com una constant fonamental, i emprava una llista de cinc constants:
– la constant gravitacional (G).
– la constant de Planck (h).
– la velocitat de la llum en el buit (c).
– la constant de Coulomb (kC).
– la constant de Boltzmann (kB).

La unitat de longitud de Planck es definia com:

(lp)2 = h • G • c-3.

La unitat de Planck (lp) és entre 11 i 12 vegades més gran que la de Stoney. El valor en metres és de 1,616252…•10-35 m. El diàmetre atòmic de l’hidrogen és de 3,1•1023 lp, l’alçada mitjana humana és de 1,1•1035 lp i el diàmetre de l’univers observable és de 5,3•1061.

La unitat de longitud atòmica de Hartree

Les unitats de Stoney o de Planck són, certament, petites. No és estrany, doncs, que des de la física atòmica s’hagin proposat alternatives. Aquestes alternatives volen fer que la càrrega i la massa de l’electró siguin també unitàries. El sistema de Douglas Hartree empra com a “unitats fonamentals”, la càrrega de l’electró, la massa de l’electró, la constant de Planck, la constant de Coulomb i la constant de Boltzmann. Fet així, la unitat de longitud atòmica (lA es defineix com:
lA = h2•(kC)-1•(massa electró)-1•(càrrega electró)-2.

Una lA equival a 5,29177…•10-11 m. La lA és un mútiple exacte de la lP. El diàmetre atòmic de l’hidrogen és de 0,094 lA, l’alçada mitjana humana és de 3,2•1010 lA i el diàmetre de l’univers observable és de 1,6•1037 lA.

Existeixen altres variants, d’acord amb el nombre de constants que volguem fer equivalents a la unitat. El sistema d’unitats de la cromodinàmica quàntica substitueix la massa electrònica per la del protó, i deixa de banda la constant de Coulomb, però té present la velocitat de la llum. En aquest cas, la unitat de longitud és igual al quocient de la constant de Planck pel producte de la massa del protó per la velocitat de la llum.

La unitat de longitud com a base de totes les altres unitats

El caràcter històric del Sistema Internacional de mesures ha fet que, a hores d’ara, la definició del metre depengui de la del segon. Els sistemes d’unitats naturals abans esmentats no són fàcilment aplicables. A més, el coneixement sobre les constants fonamentals de la natura dista molt encara de ser complet. No tenim una teoria quàntica satisfactòria de la gravetat, ni tan sols en un nivell equivalent a la de les contemporànies electrodinàmica i cromodinàmica quàntiques.

Prenguem, la distància de Planck com a unitat natural de referència. El valor de la distància de Planck, com ja hem dit, no es pot expressar com a submúltiple del metre degut al fet que ni la constant de Planck ni la constant de gravitació de Newton tenen un valor tancat en unitats del Sistema Internacional (com si ho té la velocitat de la llum). D’altra banda, les tecnologies metrològiques més potents no poden anar més enllà de 1015 lP.

Quant a la natura de la unitat de longitud de Planck, val a dir que sovint se la presenta com la distància mínima que té sentit en el nostre univers. Això, però, únicament és cert en determinats marcs teòrics de la gravitació quàntica i de la teoria de les cordes.

Independentment d’això, i de la “unitat de longitud” que prenguem, el sistema d’unitats geometritzades, permet definir les succesives unitats de temps, massa, velocitat, etc., en base a la “unitat de longitud”.

Per exemple:
– les unitats d’àrea i de volum, resulten del quadrat (L2) i del cub (L3) de les unitats de longitud.
– la unitat de temps pot ésser definida a partir de la unitat de longitud multiplicada per la velocitat de la llum en el buit. És així com s’obté el temps de Planck (tP).
– la unitat de massa també pot ésser definida a partir de la unitat de longitud multiplicada per la constant de gravitació (G) i l’invers del quadrat de la velocitat de la llum.
– la velocitat, d’aquesta manera, esdevé adimensional.
– la velocitat angular resulta de la unitat de temps multiplicada per l’invers de la velocitat de la llum al quadrat.

No serà, però, fins veure les altres unitats del Sistema Internacional, que ampliarem aquesta llista.

Arxivat a Ciència i Tecnologia
2 comments on “Les unitats de mesura del Sistema Internacional (I – c): una història del metre (i d’altres unitats de longitud)
  1. Mar ha dit:

    Tot ma fet falta per a un treball, maravillos !

Els comentaris estan tancats.

%d bloggers like this: