Les unitats de mesura del Sistema Internacional (II – c): una història del quilogram (i d’altres unitats de massa)

El quilogram, doncs, és l’única unitat de mesura del Sistema Internacional que es basa en el prototip internacional custodiat a París. Això no afecta únicament al quilogram (i al gram, i a la tona mètrica, etc.) sinó que també afecta a altres sistemes d’unitats. Actualment, la lliura més emprada (la lliura imperial) és també un múltiple exacte del quilogram, ja que es defineix 1 lliura com igual a 0,45359237 kg exactes (és a dir, 453.592.370 nanograms). Però el Sistema Internacional accepta l’ús d’altres unitats de massa que ara mateix no són múltiples exactes del quilogram. Alhora, l’octubre passat s’obria la porta a definir el quilogram en relació a les definicions físiques del metre i del segon. Finalment, tal com vam fer en el cas del metre, haurem de parlar de les propostes sobre una “unitat natural” de massa basada en les constants físiques universals.

Unitats de massa independents del quilogram

En parlar de les unitats de longituds, vam veure com hi ha un sistema d’unitats (la unitat astronòmica, el parsec, el megaparsec, etc.) que no s’expressa com múltiple del metre. També en parlar de masses astronòmiques, hem de fer referència a unitats que no s’expressen com a múltiples del quilogram.

La massa terrestre n’és un exemple. Podem calcular la massa terrestre com el producte g • R2 • G-1, on g és l’acceleració del camp gravitatori en la superfície de la Terra, R és el radi de la Terra i G és la constant de gravitació universal de Newton. D’això se’n deriva un valor aproximat de 5,9722•1024 kg. La “massa terrestre” s’empra com a unitat de mesura de la massa de planetes rocallosos. Una altra unitat similar és la massa de Júpiter, que es pot avaluar d’acord amb el moviment de translació de Júpiter al voltant del Sol, i que es determina en un valor aproximat de 1,8986•1027 kg.

Però la unitat de massa estàndard en astronomia és la “massa solar”. La massa del nostre Sol es pot calcular d’acord amb el producte 4 • Π2 • 1 UA • G-1 • 1 any, on UA és la unitat astronòmica de distància. La massa solar s’avalua dins de l’interval de 1,98867•1030 kg i 1,9891730 kg. Aquest interval d’error, naturalment, té escassa rellevància pràctica. Moltes de les determinacions de “masses solars” que fem per a estels, nebuloses, galàxies, cúmuls galàctics, etc., tenen uns errors observacionals molt superiors a aquest marge. Així doncs, no hi ha gaire diferència entre dir que l’univers observable té una massa de 3•1052 kg o dir que té una massa de 1,5•1022 masses solars.

I de lo més gran anem a lo més petit. És cert que el gram té un seguit de subdivisors com el microgram (ug, 10-9 kg), el nanogram (ng, 10-12 kg), el picogram (pg, 10-15 kg) o el femtogram (fg, 10-18 kg). Aquestes unitats ens poden servir per avaluar el pes d’un òvul humà (un 2 micrograms) o d’un bacteri (de l’ordre d’1 picogram). Quan passem al món de les molècules, fem servir una altra unitat de massa, la “unitat de massa atòmica”.

La unitat de massa atòmica (uma) es defineix com la dotzena part de la massa d’un àtom lliure de carboni-12 (l’àtom format per un nucli de 6 protons i 6 neutrons, i un núvol atòmic de 12 electrons). No hi ha, doncs, una conversió directa entre “uma” i “kg”. Ja veurem en un proper capítol com entre la “uma” en el Sistema Internacional. De moment, tenim prou a dir que 1 uma equival aproximadament a 1,660538921(73)•10-27 kg. Com que l’àtom de C-12 té 12 nucleons, podríem pensar que la massa d’un protó i la d’un neutró és igual a 1 uma. Ho és, només aproximadament. La massa del protó s’estima en 1,0072764668128(90) uma, mentre que la del neutró és lleugerament superior encara, de 1,00866491600(43) uma. La massa de l’electró també s’empra com a unitat de massa, i s’avalua en 5,4857990946(22)•10-4 uma. En definitiva, doncs, ni el kg és commensurable en uma, ni la uma ho és respecte de les masses del protó, del neutró o de l’electró, o aquestes ho són entre elles. És ben lògic que la física fonamental no trobi gens bona aquesta proliferació de nombres que semblen irracionals i, fins i tot, transcendents.

Una definició ‘física’ del quilogram a través de la constant de Planck

Una manera de reduir la proliferació anterior, seria definir el quilogram d’acord amb una constant física. Ja vam veure que, en lligar la definició del metre amb la del segon, obteníem un valor de la constant de propagació de la llum en el buit que s’expressava en un nombre exacte (299792458 m•s-1). Si lliguéssim la definició del quilogram a la del metre (o a la del segon), a través d’una constant física, aconseguiríem el mateix efecte.

Quina constant física ens serviria? Encara que l’opció més dreturera teòricament seria la pròpia constant de gravitació (en la formulació newtoniana o gaussiana), per raons metrològiques sembla ser que l’opció anirà al voltant de la constant de Planck. La constant de Planck (h) ens indica la relació que hi ha entre l’energia d’un fotó (E) i la freqüència de l’ona electromagnètica associada (ν), sota la fórmula E = h • ν. La constant de Planck té un valor, quan l’expressem així, en unitats dels sistema internacional de 6,62606957(29)•10-34 kg•m2•s-1. Podríem demà mateix fixar el valor exacte de la constant de Planck i redefinir, doncs, el kg en base al metre i al segon. No obstant, això deixaria oberta la qüestió de confegir nous prototips adaptats a la nova definició. Com més afinem en la relació de Planck respecte de la definició actual del quilogram, menys traumàtica serà l’adopció d’una nova definició.

L’instrument que permet computar de manera més precisa la constant de Planck és la balança de watt, que mesura la potència elèctrica necessària per compensar el pes d’una massa. Tècnicament, ja seria plausible basar la definició del quilogram en la balança de watt. Val a dir que definir el quilogram d’aquesta manera, no suposaria que les altres unitats que hem vist abans (des de la massa solar fins a la unitat de massa atòmica) passessin a dependre del nou quilogram. La constant de gravitació universal de Newton, per exemple, encara tindria un valor empíric.

Una definició ‘física’ del quilogram a través de la unitat de massa atòmica

Podríem també cercar de definir el quilogram com un múltiple de la unitat de massa atòmica. Això faria que la unitat fonamental de massa del Sistema Internacional fos l’uma. També desapareixeria, amb aquesta redefinició, la referència al mol, mentre que el nombre d’Avogradro esdevindria un nombre sencer. Per exemple, podríem dir que 1 mol de carboni-12 és exactament igual a 602.214.129.000.000.000.000.000 àtoms de carboni-12, que tenen una massa igualment exacta de 12 g. Aquest camí, però, ofereix una dificultat. Fixada la constant d’Avogadro, no hauríem fixat la constant de Planck, de manera que encara ens trobaríem amb una situació no gaire diferent de l’actual. Hauríem substituït l’IPK per un cos teòric de carboni-14. Per contra, una definició del quilogram basada en la constant de Planck, sí ens ajudaria a precisar més el nombre d’Avogadro.

El nombre que hem esmentat abans, 602.214.129.000.000.000.000.000 no és gaire còmode. Hom ha proposat, com a alternativa, 602.214.162.000.000.000.000.000. Quin avantatge té aquest nombre? Que és un cub. Concretament és igual a 844468893. Així podríem definir el quilogram com la massa d’un cos cúbic format per àtoms de C-14, amb 84.446.889 àtoms d’aresta.

Ningú, però, no ha començat la tasca de construir aquest cub que substitueixi l’IPK. En canvi, el Projecte Avogadro, sí treballa amb la construcció d’una esfera d’àtoms de silici (Si). Aproximadament, una esfera de 93,6 mm de diàmetre donaria un kg de massa. A la natura, el Si el trobem en forma de tres isòtops estables, Si-28 (92,23%), Si-29 (4,67%) i Si-30 (3,1%). En la construcció de l’esfera-quilogram, caldria determinar de manera precisa aquests percentatges isotòpics (de manera similar a l’aigua de Viena que vèiem la setmana passada). També caldria determinar a una precisió nanomètrica (i.e. atòmica) el radi de l’esfera, la distribució dels àtoms en l’interior, etc. La finalitat del projecte Avogadro és fixar amb un nombre sencer el nombre d’Avogadro. Només col•laterlament, el quilogram podria quedar definit com un múltiple de la massa d’àtoms de Si-28. Si hom ho fes així, la uma i el kg continuarien sense tindre una conversió exacta mútua.

També es poden emprar, en aquest sentit, altres materials. S’ha pensat en utilitzar, per exemple, un sistema basat en ions or (197Au+1) o bismut (209Bi+1), ja que tenen com a avantatge que es troben en una única forma isotòpica i, a més, de massa atòmica ben elevada. Mitjançant un mètode d’acumulació iònica es podria construir un patró-or de nombre d’àtoms exacte. I podriem definir el quilogram com la massa de 3.057.443.620.887.933.963.384.315 àtoms d’or. Certament, els intents pràctics de construir per aquesta via masses precises d’or o de bismut no semblen tan reeixits com l’esfera de silici que comentàvem abans. No obstant, aquesta via oferiria alguns avantatges tècnics. Per exemple, no tan sols quedarien fixades la constant d’Avogadro i la massa atòmica de l’or (o del bismut), sinó que també quedaria fixada la càrrega elemental (la càrrega dels electrons i dels protons).

Una definició de la massa basada en la força

La força és igual a massa per acceleració. O, el que és el mateix, la massa és igual a la força partit per l’acceleració. Una definició elegant del quilogram podria ser aquesta:

Un quilogram és la massa que seria accelerada a 2•10-7 m•s-2 (exactes) si fos sotmesa a la força per-metre entre dos conductors paral·lels rectes de longitud infinita, de secció transversal circular negligible, col·locats a un metre de distància entre ells en el buit, i a través dels quals fluís un corrent constant de 1 / 1.602176565•10-19 càrregues elementals per segon

Aquesta definició capgira l’actual, en la qual l’amperi es defineix a partir del quilogram. D’altra banda, el coulomb (C) passaria a ser un múltiple exacte de la càrrega elemental.

Propostes d’unitats naturals de massa

De totes les definicions que hem vist, és probable que s’imposi finalment la basada en la constant de Planck. Però encara passaran alguns anys fins que l’IPK abandoni el seu lloc en la definició del quilogram. Per això, ara hauríem de passar a veure una altra mena de propostes, situades encara més enllà. Ja vam veure, en el capítol corresponent, al metre, com es podia aconseguir una “unitat natural” de longitud a partir d’un cert nombre de “constants fonamentals”. El mateix val per al quilogram.

La massa de Stoney (1881) és igual a l’arrel quadrada del producte format pel quadrat de la càrrega elemental, la constant de Coulomb i l’invers de la constant de gravitació universal de Newton. El seu valor és de l’ordre dels micrograms: 1,85921•10-9 kg.

La massa de Planck és igual a l’arrel quadrada del producte format per la constant de Dirac, la velocitat de la llum i l’invers de la constant de gravitació universal de Newton. El valor en kg de la massa de Planck és, aproximadament, de 2,17644•10-8 kg. No es tracta, doncs, d’un valor tan petit com el de la distància de Planck. 21 micrograms és una quantitat petita, però no pas microscòpica. Una cèl•lula humana, de terme mitjà, fa una massa de 0,0001 unitats de Planck. Que la unitat de massa de Planck sigui “desproporcionada” en relació a les unitats de Planck de l’espai i del temps, ens dóna una idea d’una propietat fonamental del nostre univers: la feblesa de la interacció gravitatòria respecte d’altres interaccions (electromagnètica, nuclear).

Una de les masses més petites imaginable és la massa equivalent d’un electronvolt. Un electronvolt (eV) és l’energia cinètica d’un electró que accelera sota un camp elèctric d’1 volt (V). D’acord amb la fórmula d’Einstein (M = E • c2), podem definir la massa equivalent de qualsevol energia. La massa equivalent d’un eV és, doncs, un eV•c-2, i això són, aproximadament, 1,783•10-36. Si ho expressem en eV•c-2, la massa d’un electró és de 511, i la massa d’un neutrí electrònic és de 2. Precisament, les “unitats naturals” que s’apliquen en la física de les partícules empren l’eV com la unitat bàsica.

En d’altres sistemes d’unitats naturals, la unitat de massa es defineix com la “massa de l’electró”, tal com fa el sistema d’unitats atòmiques de Douglas Hartree. Similarment, en el sistema d’unitats de la cromodinàmica quàntica, la unitat de massa es correspon a la “massa del protó”.

Les unitats de força, d’energia, de pressió, etc.

Idealment, un sistema d’unitats naturals faria que totes les constants fonamentals fossin adimensionals i iguals a la unitat. O, dit d’una altra manera, el sistema consideraria constants fonamentals aquelles que prenguessin, en el sistema, el valor d’1.

Tot el que hem dit fins ara per al quilogram (o per a qualsevol unitat de massa) té també ramificacions en d’altres quantitats físiques:
– força. La unitat que reconeix el SI és el newton (N, en honor d’Isaac Newton). 1 N és la força que cal per fer que una massa 1 kg prengui una acceleració d’1 m•s-2. És a dir, que 1 N = 1 kg•m•s-2. En un sistema d’unitats naturals, les unitats de massa, de longitud i de temps són lligades, i la força s’expressaria com un adimensional (1). La unitat de força és igual a multiplicar la unitat de longitud per la constant de gravitació universal i l’invers de la constant de la velocitat de llum elevat a 4.
– l’energia. La unitat que reconeix el SI és el joule (J, en honor de James Prescott Joule). 1 J és l’energia esmerçada en aplicar una força d’1 N movent-ho 1 m. És a dir que 1 J = 1 N•m = 1 kg•m2•s-2. En un sistema d’unitats naturals, l’energia té com a dimensió geomètrica la longitud. La unitat d’energia és igual a multiplicar la unitat de longitud per la constant de gravitació universal i l’invers de la constant de la velocitat de llum elevat a 4
– la potència. La unitat que reconeix el SI és el watt (W, en honor de James Watt). 1 W és la potència esmerçada per 1 J d’energia en 1 s. És a dir que 1 W = 1 J•s-1 = 1 N•m•s-1 = 1 kg•m2•s-3. En un sistema d’unitats naturals, la potència és adimensional. La unitat de potència resulta de multiplicar la unitat de longitud per la constant de gravitació universal i l’invers de la constant de la velocitat de llum elevat a 5.
– la pressió. La unitat que reconeix el SI és el pascal (Pa, en honor a Blaise Pascal). 1 Pa és la pressió exercida per una força d’1 N damunt d’una superfície d’1 m2. 1 Pa = 1 N•m-2 = 1 kg•m-1•s-2. En un sistema d’unitats naturals, la pressió té com a dimensions l’invers de la superfície. La unitat de pressió resulta de multiplicar la unitat de longitud per la constant de gravitació universal i l’invers de la constant de la velocitat de llum elevat a 4.
– la densitat. La unitat que reconeix el SI és el kg•m-3. En un sistema d’unitats naturals, la densitat tindria com a dimensions les mateixes que la pressió (l’invers de la superfície). La unitat de densitat resulta de multiplicar la unitat de longitud per la constant de gravitació universal i l’invers de la constant de la velocitat de llum elevat al quadrat.

En tot això, però, no hem entrat gaire en la definició de massa. Bàsicament, hem considerat que la massa d’un cos és la quantitat de matèria que conté (el nombre d’àtoms i de molècules, com passava en el cilindre de silici o en el cub de carboni-14, però també, en certa mesura, la definició originària del quilogram que feia la Llei del Germinal de l’any III). Hem considerat que això és equivalent a la massa inercial, és a dir a la resistència que ofereix un cos a patir una acceleració quan s’hi aplica una força, que és el sentit de massa que mesura la balança de watt. I això seria igualment equivalent a la massa gravitatòria activa, que és tal com podem avaluar la massa solar (per l’efecte determinant en l’òrbita de la Terra). O equivalent a la massa gravitatòria passiva, que és com mesuren el pes (la massa) les balances comparatives de més o menys precisió. També diríem que és equivalent a la massa que resulta de l’equació d’Einstein, i que ens permet definit l’electronvolt també com a unitat massa en el món subatòmic. O a la massa que produeix curvatures en l’espai-temps, tal com les que es poden mesurar quan es comparen els rellotges atòmics que operen en la superfície terrestre amb els que ho han fet en naus orbitals.

Totes aquestes formes d’expressar la massa són experimentalment indistingibles. Els principis de Newton i d’Einstein es basen precisament en la interconvertibilitat de diverses d’aquestes formes de massa. Què és la massa, però, en darrer terme, encara se’ns escapa.

Arxivat a Ciència i Tecnologia
One comment on “Les unitats de mesura del Sistema Internacional (II – c): una història del quilogram (i d’altres unitats de massa)
  1. […] no a partir del quilogram-patró. Ja vam parlar en el seu moment d’aquest i d’altres intents de redefinició del quilogram. La definició del quilogram, si reïx el Projecte Avogadro, es basaria en les característiques […]

Els comentaris estan tancats.

%d bloggers like this: