Les unitats de mesura del Sistema Internacional (I – a): una història del metre (i d’altres unitats de longitud)

Hem repassat en la sèrie anterior els models d’univers. En molts d’aquests models, les distàncies tenien un valor relatiu que absolut. Però quan volem encaixar els diferents models, és quan hem de fer mans d’unitats absolutes. Ho necessitem per mesurar el temps o la distància, la massa o la força. En la vida quotidiana, totes aquestes magnituds se’ns apareixen com a “incomptables”. El teixit quàntic íntim de l’existència potser matisa aquesta noció, però a efectes pràctics podem anar amb ella. Per tractar amb magnituds incomptables, no podem fer quan comptem pomes o peres. Cal establir-hi unes unitats arbitràries. En el cas de la longitud (o amplada, o profunditat) o de la distància, de la mesura de l’espai (del segment, de l’àrea, del volum), les unitats més evidents són les que reflecteixen el contacte de l’home amb la natura. Mesurem les coses en polsades, en pams, en colzes, en peus, en passes, en milers de passes, en estadis o en camps de futbol, en jornades de camí, etc. O mesuràvem. En una societat mètrica com la nostra, el domini del Sistema Internacional de Mesures es considerable. El metre és la mesura de totes les coses, i ja ha quedat força incardinat en el llenguatge popular. Ja és saviesa popular convertir un quilòmetre en un quart d’hora de passejada, o considerar una desena part de milímetre. En el domini microscòpic, les cèl•lules es mesuren en micròmetres, els orgànuls en nanòmetres, les molècules en picòmetres i les estructures subatòmiques en femtòmetres o attòmetres. Ah, però, el domini del metre i dels seus múltiples, és ben relatiu quan mirem les coses més grans. En el Sistema Solar, tenim les unitats astronòmiques. Les distàncies interestel•lars es mesures en parsecs i, si molt convé, en anys-llum. En els dominis intergalàctics, hom fa mà dels megaparsecs.

El metre i les set unitats base del Sistema Internacional d’Unitats

El metre ocupa el primer lloc en el llistat del Sistema Internacional d’Unitats. És la unitat de longitud. La definició del metre, com veurem més endavant, però, depèn de la unitat de temps, el segon. Alhora, de la definició del metre depèn la candela, com a unitat d’intensitat lluminosa.

Malgrat la dependència de definicions, les set unitats base del Sistema Internacional són les unitats de set dimensions considerades mútuament independents. Són la longitud, la massa, el temps, el corrent elèctric, la temperatura, la intensitat lluminosa i la quantitat de substància. És fàcil de veure que hi ha un seguit de magnituds que depenen directament de la longitud: la superfície és el producte de dues longituds, el volum el de tres longituds, etc. O, per exemple, la velocitat és el quocient de la longitud i el temps.

La longitud i la distància

Estrictament, quan parlem de longitud (llargada), ens referim a la longitud d’un objecte, ço és la dimensió més llarga (longa) del dit objecte. En aquest sentit, la longitud (o llargada) contrasta amb l’amplitud (o amplada) i amb la profunditat (o fondària, que també es pot expressar en termes d’altitud o alçada). Les tres dimensions espaials, però, són convertibles entre elles. Podem establir-les d’acord amb el marc de referència. Un ortoedre, per exemple, ens determinarà una dimensió x (la llargada, en la direcció de les quatre arestes més llargues), una dimensió y (l’amplada, en la direcció de les quatre arestes mitjanes) i una dimensió z (l’alçada, en al direcció de les quatre arestes més curtes). Però podríem bescanviar tranquilament els eixos entre ells, o canviar la direcció d’un d’ells (amb la condició que es mantingués l’ortogonalitat mútua entre els eixos). En el nostre món particular, situat en la superfície d’un planeta, aquesta arbitrarietat té una limitació. L’eix z, normalment, l’assignem d’acord amb la direcció marcada pel camp gravitatori. Els eixos x i y poden ésser assignats amb més llibertat, bé emprant les direccions cardinals (nord-sud, est-oest) o la quadrícula de carrers de l’Eixample de Barcelona, per posar dos exemples.

Aquesta interconvertibilitat entre les tres dimensions espaials, fa que la “longitud” sigui també la mesura de l’espai unidimensional. El segment d’una línia té tal o tal longitud. La longitud esdevé sinònim de distància. En el sentit originari, al capdavall, la longitud era la distància entre els dos punts més distals que conformen un objecte. I la distància entre dos punts és la longitud d’un volum imaginari (o una línia imaginària) que fos delimitat pels dos punts.

Les longituds: des de l’ímfim a l’infinit

En la geometria euclídea no hi ha pas límits en aquest sentit. Qualsevol sistema d’unitats podria representar qualsevol distància mitjançant un nombre real. I els nombres reals no s’esgoten. Entre 0 i qualsevol nombre real, hi ha un nombre infinit de nombres reals més petits. I per damunt de qualsevol nombre real n’hi ha un altre. I entre dos nombres reals, hi ha una infinitud d’altres nombres reals. Més tard, tornarem a aquesta qüestió des del punt de mira de la física quàntica, d’una banda, i del model cosmològic estàndard.

Les unitats de longitud

Possiblement, les primeres unitats de longitud emprades per la humanitat deriven del cos humà, particularment de les mans. Són elles amb les quals manipulen les eines i els subjectes i productes del treball. Així doncs, sorgeix el dit, és a dir l’amplada de qualsevol dels dits centrals de la mà (l’Alcover Moll en diu: “mida equivalent al gruix normal d’un dit d’home”). Cas a banda, és el dit polze, que fonamenta la polzada (Alcover-Moll: “mida fundada en l’amplària del dit polze”). La mà també serveix, bé de llargada (del canell a l’extrem del dit del mig), o bé d’amplada. Més habitual que “la mà”, però, hi ha “el peu”, entès com la llargada del peu. De totes formes, amb la mà determinem “el pam” (A-M: distància que hi ha entre el cap del dit polze i el del dit petit, tenint la mà oberta i els dits estesos). El “colze” és la “mida longitudinal equivalent a la distància del colze al cap dels dits”. La “braça” és la “distància que hi ha des de l’extrem d’una mà a l’extrem de l’altra tenint els braços estesos en línia recta”. La tradició fa que la “iarda” anglesa fos definida com la distància entre la punta del nas del rei Enric I i el cap del polze del braç esquerre estès al màxim per davant del rostre (the distance from the tip of the King’s nose to the end of his outstretched thumb). Totes aquestes són unitats estàtiques, de posició, però també hi ha unitats de base corporal, determinades per l’acció, de les quals podem destacar la passa (A-M: espai que es recorren amb cadascun dels moviments que fa l’home quan camina, alçant i avançant un peu fins a tornar-lo a posar en terra).

La proliferació d’unitats de mesura és considerable. També ho és el fet que, al capdavall, aquestes unitats són molt personals. En molts efectes de la vida pràctica, aquestes unitats resisteixen, però. L’estandardització d’aquestes unitats comença molt aviat, tan bon punt el desenvolupament dels mercats locals exigeix unes unitats un xic més objectives. Aquesta estandardització redueix també les unitats, i fa que unes depenguin d’unes altres. Per exemple, hom fa que “dotze polzades” siguin equivalents a “un peu”. O que “quatre polzades” siguin “una mà” (i per tant, “tres mans” facin “un peu”. De forma similar, “una passa” equival a “quatre pams” o a “cinc peus”, segons els casos. I la “iarda” són tres “peus”. Per qui trobi totes aquestes unitats massa grans per a tasques més fines, hi ha, per exemple, l’ungla o, fins i tot, el gruix d’un cabell humà (30.000 “cabells” fan una “polzada”).

Ja en l’antiguitat, es construeixen objectes que serveixen de “patró” d’aquestes unitats. És així com sorgeix “la cana”, unitat de mesura basada en un bastó de fusta de vuit pams de llargada. D’aquesta manera, una cana són dues passes, vuit pams. Una “vara”, en la definició més habitual, no arriba a la meitat d’una “cana”. Un origen similar té “el peu de rei” (que de fusta es reencarna en objecte metàl·lic), i que ens informa de la distància d’un peu, equivalent a dotze polzades. Les polzades, alhora, també poden ésser subdividides. Per la seva flexibilitat, les cordes també serveixen d’unitat de mesura, degudament marcades, i és així com naix la “corda” com a unitat de longitud (habitualment, se la fa equivaldre a 20 peus).

Si hem observat, les relacions creuades entre totes aquestes unitats, es basen en el 12 (12 polzades = 1 peu), o en els divisors de 12 (2, 3, 4, 6). En la nostra cultura romànica (i en les cultures indo-germàniques, en general), el sistema de numeració bàsic és decimal (per bé, que hi hagi restes de numeracions de base 2, 5, 12, 20, etc.). Per això apareixen unitats com la “milla”, que equival, senzillament, a mil passes. La “milla” és una mida itinerària, en el sentit que ens serveix per mesurar les distàncies entre dos punts d’un camí. Una altra mida itinerària és l’estadi grec, basat en els espais dedidats a les curses dels jocs helènics, definida per la longitud d’aquestes curses (de 125 passes). La li xinesa són 1.500 peus, i la versta russa són 3.500.

Més enllà de les unitats que deriven del cos humà o de la seva activitat directa, hi ha l’ús que se’n pugui fer d’objectes. L’estandardització industrial fa que la premsa avui dia utilitzi informalment unitats de distància (o d’àrea) tan peregrines com un autobús o un camp de futbol.

Ja hem dit abans, i tornarem a veure després, que les unitats de longitud poden ser referenciades també a una unitat de temps. Un exemple, el tenim en l’ús de la “jornada de camí” per definir distàncies. I així parlem de si tal o tal lloc és “una hora lluny” o a “dos dies de camí”. És així com neix la “llegua”, definida com la distància recorreguda durant “una hora”. És clar que en l’època que Desclot deia “El Voló és luny de Panisars dues llegues”, calia saber si el cronista es referia tot caminant a peu o a cavall. El context del passatge (es refereix al moviment de tropes d’infanteria) fa que confirmen que “El Voló és lluny de Panissars dues hores de camí”. Aquesta velocitat de caminar o cavalcar, o d’anar amb cotxe o avió (tal i tal ciutat són a dues hores d’avió), és quelcom variable. No ho és, gens, però, la velocitat de la llum en el buit. D’aquesta velocitat, deriven unitats de distància com l’any-llum. Així doncs, Alfa Centauri és a quatre anys-llum de distància (la llum triga quatre anys en recórrer l’espai que ens separa), i la Galàxia d’Andromeda a uns dos milions i escaig d’anys-llum (la llum de l’Andromeda que arriba als nostres ulls o als nostres telescopis és pleistocènica!). Si algú li sap greu col·locar l’any-llum en el mateix paràgraf que la llegua, també podem fer-hi referència a la “barba-segon”, que és la unitat de distància basada en el creixement de la barba humana en un segon (quatre barba-hores equivalen al gruix d’un cabell humà).

Passem ara al camp de les unitats basades en la trigonometria, que són més senyores. Per exemple, la milla marina, originàriament, es definia de manera semblant a la milla terrestre (mil passes, més angleses, és a dir més llargues, que no pas romanes). Un còmput pel broc gros, però fàcil de recordar, ens diu que seixanta milles equivalen a un grau sexagessimal de latitud (dit, d’una altra manera, entre el pol nord i l’equador hi ha unes 5.400 milles). Però aquest càlcul queda curt, i si definim la milla com un minut d’arc de latitud, ens queda una milla de més de mil passes. És per això la milla nàutica, definida en graus de latitud, és més llarga que la mida terrestre.

Les distàncies astronòmiques mereixen també una menció. Ja en temps pre-socràtics havia hagut intents de referir les distàncies relatives del Sol i de la Lluna i dels altres planetes i estels. Aristarc procurà de definir aquestes distàncies emprant com a unitat “el radi terrestre”. El recurs a la trigonometria es feia imprescindible. Amb la formulació de la teoria de la gravetat de Newton, hom podia expressar la distància mitjana del Sol a la Terra en forma d’unitat astronòmica (A):

A = {D^2 / [G•M•(k^2)] } ^ (1/3)

On D és 1 dia, G és la constant gravitatòria universal, M és la massa del Sol i k és la constant gravitatòria gaussiana.

Com que D, G, M i k tan sols es coneixen de forma aproximada, la UA esdevé autònoma respecte de les unitats de mesura abans esmentades. En el segle XIX, hom comença a determinar el paral•latge anual d’alguns estels, moviment aparent que s’associa a la translació de la Terra al voltant del Sol (i, per tant, a la unitat astronòmica). En el 1913, Herbert Hall Turner proposà el “parsec” com a unitat de distància astronòmica, en tant que seria la distància a la qual es trobaria un estel que tingués un paral•latge anual d’un segon d’arc (val a dir que cap estel conegut no té un paral•latge tan pronunciat, de forma que tots els estels coneguts són a més d’un parsec de distància, per exemple, Alpha Centauri és a 1,34 parsecs). Un parsec equival exactament a 206265 unitats astronòmiques.

Podríem continuar la llista d’unitats de longitud anteriors o independents del sistema internacional de mesures. O passar més avant a veure com sorgí la proposta del metre. Però com que ja som a la quarta pàgina del .doc, valdrà més que suspenguem ací el subcapítol, i deixem el proper lliurament per a la setmana vinent.