Boles que “cauen”: experimentant amb la resistència aerodinàmica

Posted on 07/03/2014 by jclaret

Fa poc, bevent unes cerveses amb un company em va traslladar una qüestió de la que havia estat parlant amb els seus germans i li inquietava. La pregunta era: “crec que cau més ràpid una bola de ferro que una de fusta, però no sé perquè. I al buit que passa?”

Em va semblar tot molt interessant i em vaig posar a fer quatre números amb un Excel i rescatant un programa matemàtic (MAPLE) que tenia al ordinador. En aquesta entrada volia compartir els resultats amb vosaltres per a que es vegi la importància que té la resistència de l`aire en la caiguda lliure d’objectes.

Aquest tema ens pot donar una explicació de perquè els paracaigudistes s’estabilitzen a una velocitat de 180-220 km/h abans d’obrir el paracaigudes quan salten des de l’avió

Alguns antecedents..

Bola que cau a) al buit b) amb resistència aerodinàmica
(elaboració propia)

– Caiguda lliure (al buit)
Les lleis clàssiques de física ens diuen que qualsevol cos en caiguda lliure (al planeta terrestre) pren una acceleració igual a l’acceleració de la gravetat; l’acceleració de caiguda doncs, no depèn de la massa ni les característiques geomètriques del objecte. Això només es compleix al buit, en un ambient en absència d’aire. Fent un DCL d’un cos (figura A) en caiguda lliure i mirant les forces que hi actuen es pot veure això mateix.

$\sum F=ma_{y}\to mg=ma_{y}$
$a_{y}=g$

Llavors, si deixem caure al mateix temps dos cossos qualsevols (tant diferents com siguin) en un ambient sense aire, els dos arribaran al terra al mateix instant.

– La resistència del aire
La teoria és molt maca, però vivim gràcies a l’aire que respirem. Aquest és un fluid que afecta la caiguda del cos ja que les molècules d’aire que envolten el cos ofereixen una resistència quan el cos les va desplaçant. Aquesta resistència o fregament que oposa l’aire depèn de la velocitat relativa del cos respecte del fluid i es pot modelar depenent del tipus de flux que es crea al voltant del cos (laminar, turbulent o de transició). Al tractar-se de la caiguda d’un objecte en l’aire el flux és turbulent (l’aire és poc viscós) i és sol modelar amb la llei de fregament de Newton. La llei de estableix que la força de fregament sobre el cos (també anomenada força aerodinàmica), es modela en règim turbulent segons l’expressió:

$Fa=\frac{1}{2} \rho_{a}C_{d}A_{f}v^2$

On intervé la densitat de l’aire (ρ), l’àrea frontal de l’objecte (Af), el coeficient aerodinàmic (Cd) i la velocitat de caiguda al quadrat v^2. El coeficient aerodinàmic és un nombre adimensional que caracteritza alguns fenòmens complexos que ocorren quan l’objecte es mou a través del fluid. Aquest coeficient es troba experimentalment al túnel de vent.

Llavors el diagrama canvia segons la figura B i mirant les forces tenim:

$\sum F=ma_{y}\to mg-Fa=ma_{y}$

$a_{y}=g-\frac{\frac{1}{2} \rho_{a}C_{d}A_{f}v^2}{m}$

És fàcil veure a l’equació que la velocitat de la bola s’incrementarà i arribarà un moment que la força resistent de l’aire s’igualarà el pes de la bola i l’acceleració de caiguda serà nul·la. La velocitat límit a la que el cos s’estabilitzarà sol anomenar-se velocitat crítica.

L’acceleració de caiguda SI depèn de la massa del objecte i és una mica menor que l’acceleració de la gravetat i depèn d’altres paràmetres geomètrics del cos i propietats del fluid que amb el que està en contacte.

Problema inicial

Tenim 3 esferes massisses de materials diferents: acer de construcció, plàstic (PMMA) i suro. Es deixen caure les esferes des d’un gratacel (300 metres) i es vol buscar com varia la velocitat al llarg del temps i quina és la velocitat a la que s’estabilitzaran , velocitat crítica.
Les esferes són de radi 5 cm i el pes de cada una, junt amb la densitat es troben a la taula següent.

Tipus de bola	Volum (m^3)	Àrea frontal (m^2)	densitat (kg/m^3)	m (kg)	mg (N)
Acer	0,000523599	0,007853	7850	4,11	40,31
Plàstic (PMMA)	0,000523599	0,007853	1200	0,628	6,16
Suro	0,000523599	0,007853	200	0,105	1,03

Hipòtesis/simplificacions..

– La densitat de l’aire es considera invariable amb l’altura des de que es tiren les boles i és pren la del nivell del mar a 15ºC. Densitat= 1,223kg/m^3

– El coeficient aerodinàmic de l’esfera és considera Cd=0,47, és constant i no depèn del nombre de Reynolds.

– Les esferes tenen un grau d’acabat superficial molt bo i es troben perfectament polides.

– La força de fregament que s’oposa al moviment del fluid és únicament Newtoniana, descrita amb la equació de la força aerodinàmica Fa.

– Es considera que la força del vent és imperceptible durant la caiguda de l’esfera.

– Es deixen caure les esferes, la velocitat inicial de la caiguda és zero.

Vamos allà..

Abans que res busco quina és la velocitat crítica a la que s’estabilitza la bola quan el pes s’iguala amb la força resistent de l’aire. Imposo que l’acceleració de caiguda és zero.

	velocitat crítica o estabilització (m/s)	velocitat crítica o estabilització (km/h)
Bola acer	133,63	481,05
Bola PMMA	52,24	188,08
Bola Suro	21,33	76,78

Després escric l’equació que hem obtingut fent el diagrama del cos amb resistència aerodinàmica en forma d’equació diferencial amb les variables velocitat (v) i temps (t) que m’anirà bé per després resoldre-la.

$m\frac{dv(t)}{dt}+\frac{1}{2} \rho_{a}C_{d}A_{f}v(t)^2-mg=0$

Simplement és una equació en la que intervenen derivades. Ara el que interessa és solucionar-la, obtenir v(t) per a cada bola. La força aerodinàmica Fa és igual per totes les boles ja que l’àrea frontal és la mateixa. No obstant, l’acceleració sí que depèn de la massa: com menys massa tingui el cos, més s’allunyarà l’acceleració de caiguda de l’acceleració de la gravetat (9,806 m/s^2) en un instant determinat, fins que s’estabilitzi.

Ara si, li dic al programa MAPLE que em solucioni l’equació diferencial (amb condicions inicials de v=0m/s a t=0s) i li dic que me la representi en funció del temps v(t). Els resultats per totes les boles són els següents.

a) Bola d’Acer

b) Bola de plàstic (PMMA)

c) Bola de suro

Es veu a la gràfica que la bola va desaccelerant cada cop més fins que arriba a la velocitat constant i s’estabilitza. Aquesta és la velocitat crítica i coincideix amb la que s’ha calculat abans. El material més dens tarda més en estabilitzar-se i ho fa a una velocitat major.

El gràfic representa una solució particular de l’equació diferencial que descriu la variació de la velocitat del cos respecte el temps. Però també mostra totes les possibles solucions de l’equació (en forma de mapa de vectors) si deixem caure la bola en una velocitat inicial diferent de 0 i en un instant inicial diferent de 0. Totes les solucions s’estabilitzen a la velocitat crítica.

Altres coses..

Al apartat de simplificacions he posat que el coeficient aerodinàmic Cd és constant i no depèn del nombre de Reynolds. Això en el cas d’una esfera no es del tot veritat tal com es recull a la gràfica següent, on es veu com varia el coeficient aerodinàmic amb el nombre de Reynolds.

font: NASA

Al gràfic hi ha 5 zones de funcionament i n’hi ha una que és pràcticament constant (la zona 4). Aquí és on ens trobem nosaltres. En nombres de Reynolds relativament petits (fluxos laminars) la variació del coeficient cd és més o menys lineal (zona 2) i s’utilitza la llei d’Stokes per modelar la fricció.

Variació de la densitat

La densitat, que aquí s’ha considerat constant, varia considerablement amb l’altura. Per caigudes des de relativament poca alçada l’error no és gaire gran, però a mesura que s’incrementa l’altura l’error és apreciable . La densitat es decrementa un 60% quan es enlairem 6,2 km.